Çok değişkenli varyans analizi

Varyans analizi, belirli işaretler ve çalışılan faktörler arasındaki ilişki hakkındaki hipotezleri test etmek için tasarlanmış, nicel bir tanımlamaya sahip olmayan, faktörlerin etki derecesini ve etkileşimlerini belirleyen bir dizi istatistiksel yöntemdir. Uzmanlık literatüründe genellikle ANOVA (İngilizce Değişkenlerin İngilizce isminden) denir. Bu yöntem ilk olarak 1925 yılında R. Fisher tarafından geliştirilmiştir.

Varyans analizi türleri ve kriterleri

Bu yöntem nitel (nominal) özellikler ve nicel (sürekli) bir değişken arasındaki ilişkiyi incelemek için kullanılır. Aslında, birkaç örneğin aritmetik ortalamasının eşit olduğu hipotezini test eder. Bu nedenle, birkaç örneğin merkezlerini bir kerede karşılaştırmak için parametrik bir kriter olarak kabul edilebilir. Bu yöntemi iki örnek için kullanırsanız, varyans analizinin sonuçları t-student test sonuçlarıyla aynı olacaktır. Ancak, diğer kriterlerden farklı olarak, bu çalışma problemi daha detaylı incelememize izin veriyor.

İstatistiklerdeki varyans analizi, kanuna dayanır: birleştirilmiş numunenin sapmalarının karelerinin toplamı, grup içi sapmaların karelerinin toplamına ve gruplararası sapmaların karelerinin toplamına eşittir. Çalışmada, Fisher testi gruplar arası varyanslardan gruplar arası varyanslar arasındaki farkın önemini belirlemek için kullanılır. Bununla birlikte, bunun için gerekli ön şartlar, numunelerin normal dağılımı ve homoskedastisitesidir (varyansların eşitliği). Tek boyutlu (tek değişkenli) varyans analizi ile çok değişkenli (çok değişkenli) arasındaki farkı ayırt eder. Birincisi, incelenen niceliğin bir özniteliğe, ikincisine - hemen çoğuna bağımlılığını dikkate alır ve ayrıca bunlar arasındaki ilişkiyi tanımlamanıza izin verir.

faktörler

Faktörlere nihai sonucu etkileyen kontrollü koşullar denir. Düzeyine veya işleme yöntemine, bu koşulun spesifik tezahürünü karakterize eden değer denir. Bu numaralar genellikle nominal veya seri ölçekte verilir. Genellikle, çıktı değerleri kantitatif veya sıralı ölçeklerde ölçülür. Ardından, çıktı verisinin yaklaşık olarak aynı sayısal değerlere karşılık gelen bir dizi gözlemde gruplanması sorunu ortaya çıkar. Grupların sayısı aşırı derecede yüksek ise, o zaman onların içindeki gözlemlerin sayısı güvenilir sonuçlar elde etmek için yetersiz olabilir. Numarayı çok küçük alırsanız, bu sistem üzerindeki etkinin önemli özelliklerinin kaybına neden olabilir. Verilerin gruplandırılma yolu, değerlerdeki değişimin hacmine ve yapısına bağlıdır. Tek yönlü analizde aralıkların sayısı ve büyüklüğü en çok eşit aralık prensibi veya eşit frekans prensibi ile belirlenir.

Varyans problemlerinin analizi

Bu nedenle, iki veya daha fazla örneği karşılaştırmanız gereken durumlar vardır. O zaman varyans analizinin kullanılması tavsiye edilir. Yöntemin adı, varyansın bileşenlerinin çalışmasından çıkarımların alındığını göstermektedir. Çalışmanın özü, göstergedeki genel değişimin, her bir faktörün etkisine karşılık gelen bileşen parçalarına bölünmesidir. Tipik bir varyans analizinin çözebileceği bir takım problemleri düşünün.

Örnek 1

Atölyede çok sayıda tezgah vardır - belirli bir parçayı üreten otomatik makineler. Her bir parçanın boyutu, her bir makinenin ayarlarına ve parça üretimi sırasında meydana gelen rastgele sapmalara bağlı olarak rastgele bir değerdir.Makinelerin, parçaların boyutlarının ölçümlerine göre eşit şekilde yapılandırılıp yapılandırılmadıklarını belirlemek gerekir.

Örnek 2

Elektrikli cihazın üretimi sırasında çeşitli tipte yalıtıcı kağıtlar kullanılır: kondansatör, elektrik, vb. Cihaz çeşitli maddelerle emprenye edilebilir: epoksi reçinesi, vernik, ML-2 reçinesi, vb. Sürekli bir vernik akışı altında, vernik içine daldırılarak emprenye edilebilir. Bir bütün olarak elektrik tertibatı, birkaç seçeneği bulunan belirli bir bileşik ile dökülür. Kalite göstergeleri, yalıtımın dielektrik dayanımı, çalışma modunda sargının aşırı ısınmasının sıcaklığı ve diğerleridir. Üretim aparatlarının teknolojik sürecini test ederken, listelenen faktörlerin her birinin aparatın performansını nasıl etkilediğini belirlemek gerekir.

Örnek 3

Troleybüs deposu birçok troleybüs rotasına hizmet eder. Çeşitli troleybüs tipleri onlar için çalışıyor ve ücret kontrolleri 125 kontrolör tarafından toplanıyor. Depo yönetimi şu soruya ilgi duyuyor: farklı rotalar, farklı tipteki troleybüsler dikkate alınarak her kontrolörün (gelirin) ekonomik performansı nasıl karşılaştırılır? Belirli bir rotadaki belirli bir troleybüsün serbest bırakılmasının ekonomik uygulanabilirliği nasıl belirlenir? İletkenin her bir rotaya farklı tramvay otobüslerinde sağladığı gelir miktarı için makul gereksinimler nasıl belirlenir?

Bir yöntem seçme görevi, bu tür bir etkinin sayısal özelliklerini belirleme, güvenilirliklerini en düşük maliyetle ve mümkün olan en kısa sürede güvence altına almak, her bir faktörün nihai sonucu üzerindeki etkisiyle ilgili maksimum bilgiyi elde etmektir. Bu tür problemleri çözmek, varyans analiz yöntemlerine izin verir.

Tek yönlü analiz

Çalışma, belirli bir vakanın analiz edilen inceleme üzerindeki etkisinin büyüklüğünü değerlendirmeyi amaçlamaktadır. Tek yönlü analizin bir başka görevi de hatırlama üzerindeki etkisindeki farkı belirlemek için iki veya daha fazla durumu birbiriyle karşılaştırmak olabilir. Eğer boş hipotez reddedilirse, bir sonraki adım elde edilen özellikler için güven aralıklarının nicel değerlendirmesi ve inşa edilmesi olacaktır. Ne zaman sıfır hipotezi atılamaz, genellikle kabul edilir ve etkinin özüyle ilgili bir karara varılır.

Tek değişkenli varyans analizi, Kraskel-Wallis sıralama yönteminin parametrik olmayan bir benzeri olabilir. Amerikalı matematikçi William Kraskel ve iktisatçı Wilson Wallis tarafından 1952 yılında geliştirilmiştir. Bu kriter, incelenen örnekler üzerindeki etkilerin bilinmeyen ancak eşit ortalama değerlerle eşit olduğunu belirten boş hipotezi test etmek için belirlenmiştir. Numune sayısı ikiden fazla olmalıdır.

Jonkhier kriteri (Jonkhier-Terpstra), 1952'de Hollandalı matematikçi T.J. Terpstrom ve 1954'te İngiliz psikolog E.R. Jonkhier tarafından bağımsız olarak önerildi. Önceden, mevcut sonuç gruplarına göre sıralandığı bilindiğinde kullanılır. Sıralı bir ölçekte ölçülen çalışılan faktörün etkisinin büyümesi.

M - 1937'de İngiliz istatistikçi Maurice Stevenson Bartlett tarafından önerilen Bartlett testi, üzerinde çalışılan örneklerin alındığı, genellikle farklı hacimlere sahip olan birkaç normal genel popülasyonun varyanslarının eşitliği hakkındaki sıfır hipotezi test etmek için kullanılmıştır (her örneğin sayısı en az dört olmalıdır) ).

G, 1941'de Amerikan William Gemmel Cochren tarafından keşfedilen Cochren testidir. Normal genel popülasyonların varyanslarının eşit hacimli bağımsız numuneler için eşit olduğunu belirten boş hipotezi test etmek için kullanılır.

1960 yılında Amerikalı matematikçi Howard Levene tarafından önerilen parametrik olmayan Levene kriteri, çalışılan numunelerin normal dağılıma uyduğundan emin olmadığı durumlarda Bartlett kriterine bir alternatiftir.

1974'te Amerikalı istatistikçiler Morton B. Brown ve Alan B. Forsyth, Leuven kriterinden biraz farklı bir test önerdi (Brown-Forsythe kriteri).

İki faktörlü analiz

Eşleştirilmiş normal dağılıma sahip numuneler için iki yönlü varyans analizi kullanılır. Uygulamada, bu yöntemin karmaşık tabloları, özellikle her bir hücrenin sabit seviye değerlerine karşılık gelen bir veri seti (tekrarlanan ölçümler) içerdiği karmaşık tablolar kullanılır. İki yönlü varyans analizini uygulamak için gerekli varsayımlar yerine getirilmezse, Amerikan ekonomisti Milton Friedman tarafından 1930'un sonunda geliştirilen parametrik olmayan Friedman sıra kriteri (Friedman, Kendall ve Smith) kullanılır, bu kriter dağıtım türünden bağımsızdır.

Yalnızca miktarların dağılımının aynı ve sürekli olduğu ve birbirlerinden bağımsız oldukları varsayılmaktadır. Boş hipotezi test ederken, çıktı, satırların B faktörünün seviyelerine karşılık geldiği ve sütunların A seviyelerine karşılık geldiği dikdörtgen bir matris şeklinde sunulur. Tablonun her hücresi (blok), bir nesnenin üzerinde veya her iki faktörün seviyelerinin sabit değerlerinde bulunan nesnelerin bir grubundaki parametrelerin ölçümlerinin sonucu olabilir. . Bu durumda, karşılık gelen veriler, çalışılan örneğin tüm ölçümleri veya nesneleri için belirli bir parametrenin ortalama değerleri olarak sağlanır. Çıktı verilerinin kriterini uygulamak için doğrudan ölçüm sonuçlarından sıralarına geçmek gerekir. Sıralama, her satır için ayrı ayrı gerçekleştirilir, yani değerler, her sabit değer için sıralanır.

Amerikalı istatistikçi E. B. tarafından önerilen sayfa kriteri (L-kriteri), 1963'te boş hipotezi sınamak için tasarlanmıştır. Büyük numuneler için Sayfa yaklaşımı kullanılır. Karşılık gelen boş hipotezlerin gerçekliğine bağlı olarak, standart normal dağılıma uyarlar. Kaynak tablonun satırlarının aynı değerlere sahip olması durumunda ortalama sıraların kullanılması gerekir. Dahası, sonuçların doğruluğu daha kötü olacak, daha fazla sayıda bu tesadüfler olacaktır.

Q, 1937'de V. Cohren tarafından önerilen Cochren kriteridir. Homojen denek gruplarının ikiden fazlaya maruz kaldığı ve iki yanıtın mümkün olduğu durumlarda kullanılır - koşullu olarak negatif (0) ve koşullu olarak pozitif (1) . Boş hipotez, etkinin eşit etkilerinden oluşur. İki yönlü varyans analizi, işleme etkilerinin varlığını belirlemeyi mümkün kılar, ancak bu etkinin hangi sütunlar için bulunduğunu belirlemeyi mümkün kılmaz. Bu sorunu çözmek için, birleşmiş numuneler için çoklu Sheffe denklemleri yöntemi kullanılmıştır.

Çok değişkenli analiz

Çok değişkenli varyans analizi görevi, iki veya daha fazla koşulun belirli bir rasgele değişken üzerindeki etkisinin belirlenmesi gerektiğinde ortaya çıkar. Çalışma, farklılık ya da ilişki ölçeğinde ölçülen bir bağımlı rastgele değişkenin ve her biri ad ya da sıra ile ifade edilen bağımsız değişkenlerin varlığını sağlar. Varyans verilerinin analizi, birçok seçeneğe sahip, oldukça gelişmiş bir matematiksel istatistik bölümüdür. Araştırma kavramı hem tek faktörlü hem de çok faktörlüdür. Özü, toplam varyansın belirli bir veri grubuna karşılık gelen bileşenlere bölünmesidir. Her veri grubunun kendi modeli vardır.Burada sadece en yaygın olarak kullanılan seçeneklerin anlaşılması ve pratik kullanımı için gerekli temel hükümleri göz önünde bulunduracağız.

Faktörlerin varyans analizi, girdi verilerinin toplanmasına ve sunulmasına ve özellikle sonuçların yorumlanmasına oldukça dikkat etmeyi gerektirir. Bir faktörden farklı olarak, sonuçları belirli bir sırayla keyfi bir şekilde yerleştirilebilecek olan iki faktörlü sonuçlar daha karmaşık bir temsil gerektirir. Üç, dört veya daha fazla durum olduğunda daha da zor bir durum ortaya çıkar. Bu nedenle, üçten fazla (dört) koşul nadiren bir modele dahil edilir. Bir örnek, elektrik çemberinin kapasitansının ve endüktansının belirli bir değerinde rezonansın oluşması; sistemin yapıldığı belirli bir dizi element ile kimyasal bir reaksiyonun tezahürü; karmaşık sistemlerde anormal etkilerin ortaya çıkması ve belirli bir tesadüf durumu. Etkileşim varlığı, sistemin modelini temelden değiştirebilir ve bazen deneycinin uğraştığı fenomenlerin doğasını yeniden düşünmeye yol açabilir.

Tekrarlanan deneylerle çok değişkenli varyans analizi

Ölçüm verileri genellikle iki tarafından değil, daha çok sayıda faktör tarafından gruplandırılabilir. Dolayısıyla, troleybüs tekerleklerinin lastiklerinin kullanım ömrünün varyans analizini koşulları (üretici ve lastiklerin kullanıldığı rota) dikkate alarak, o zaman lastiklerin kullanıldığı mevsimi (yani, kış ve yaz operasyonu) ayrı bir koşul olarak ayırt edebiliriz. Sonuç olarak, üç faktörlü bir yöntemin görevine sahip olacağız.

Daha fazla koşul varsa, yaklaşım iki faktörlü analizdeki ile aynıdır. Her durumda, modeli basitleştirmeye çalışırlar. İki faktörün etkileşimi olgusu çok sık ortaya çıkmaz ve üçlü etkileşim sadece istisnai durumlarda ortaya çıkar. Bunlar, önceki bilgilerin olduğu etkileşimi ve modelde dikkate almak için iyi nedenleri içerir. Bireysel faktörleri izole etme ve dikkate alma süreci nispeten basittir. Bu nedenle, çoğu zaman daha fazla durumu vurgulamak için bir istek vardır. Bu taşınmamalı. Daha fazla koşul, model ne kadar az güvenilir olursa ve hata olasılığı o kadar büyük olur. Çok sayıda bağımsız değişken içeren modelin kendisi, pratik kullanım için yorumlanması ve elverişsiz olması için yeterince zor hale gelir.

Genel varyans analizi fikri

İstatistiklerdeki varyans analizi, eşzamanlı olarak mevcut çeşitli koşullara bağlı olan gözlemlerin sonuçlarını elde etmek ve etkilerini değerlendirmek için bir yöntemdir. Çalışma nesnesini etkileme yöntemine tekabül eden ve belirli bir süre içinde belirli bir değer elde eden kontrollü bir değişkene faktör denir. Nitel ve nicel olabilirler. Nicel koşulların seviyeleri, sayısal bir ölçekte belirli bir değer kazanır. Örnekler sıcaklık, basınç, madde miktarıdır. Niteliksel faktörler farklı maddeler, farklı teknolojik yöntemler, cihazlar, dolgu maddeleridir. Seviyeleri isimlerin skalasına karşılık gelir.

Kalite aynı zamanda ambalaj malzemesinin tipini, dozaj formunun saklama koşullarını da içerebilir. Ayrıca, hammaddelerin öğütme derecesini, granüllerin fraksiyonel bileşimini nicel öneme sahip olmak, ancak niceliksel bir ölçek kullanılıyorsa kontrol etmek zordur. Kalite faktörlerinin sayısı dozaj formunun tipine ve ayrıca tıbbi maddelerin fiziksel ve teknolojik özelliklerine bağlıdır. Örneğin, tabletler kristalli maddelerden doğrudan sıkıştırma ile elde edilebilir. Bu durumda, kaygan ve kayganlaştırıcı madde seçimi yapmak yeterlidir.

Çeşitli dozaj formları için kalitatif faktör örnekleri

• Tentürler. Ekstraktın bileşimi, ekstraktör tipi, hammadde hazırlama metodu, üretim metodu, filtreleme metodu.
• Özler (sıvı, kalın, kuru). Ekstraktın bileşimi, ekstraksiyon metodu, kurulum tipi, ekstraktan ve balast maddelerinin uzaklaştırılması metodu.
• Tabletler. Yardımcı maddeler, dolgu maddeleri, parçalayıcılar, bağlayıcılar, yağlayıcılar ve kaydırıcıların bileşimi. Tablet üretme yöntemi, işleme ekipmanı türü. Kabuğun türü ve bileşenleri, film oluşturucular, pigmentler, boyalar, plastikleştiriciler, çözücüler.
• Enjeksiyon çözümleri Solvent tipi, filtrasyon metodu, stabilizatör ve koruyucuların yapısı, sterilizasyon koşulları, ampul doldurma metodu.
• Fitiller. Katı fitil bazının bileşimi, fitil üretme yöntemi, dolgu maddeleri, paketleme.
• Merhem. Bazın bileşimi, yapısal bileşenler, merhem hazırlama yöntemi, ekipman tipi, paketleme.
• Kapsüller. Kabuk malzemesinin tipi, kapsül üretme yöntemi, plastikleştiricinin tipi, koruyucu madde, boya.
• Liniments. Hazırlama yöntemi, bileşim, ekipman tipi, emülgatör tipi.
• Süspansiyon. Çözücü tipi, dengeleyici tipi, dispersiyon yöntemi.

Tabletlerin imalat sürecinde çalışılan nitel faktörlere örnekler ve düzeyleri

• Kabartma tozu. Patates nişastası, beyaz kil, sitrik asit ile sodyum bikarbonat karışımı, bazik magnezyum karbonat.
• Bağlama çözeltisi. Su, nişasta salçası, şeker şurubu, metil selüloz çözeltisi, hidroksipropil metil selüloz çözeltisi, polivinil pirolidon çözeltisi, polivinil alkol çözeltisi.
• Kayma maddesi Aerosil, nişasta, talk.
• Dolgu. Şeker, glukoz, laktoz, sodyum klorür, kalsiyum fosfat.
• Kayganlaştırıcı. Stearik asit, polietilen glikol, parafin.

Devlet rekabetçiliği çalışmasında varyans modellerinin analizi

Refah düzeyini ve sosyo-ekonomik gelişim düzeyini değerlendiren devletin durumunu değerlendirmek için en önemli kriterlerden biri, devletin diğer ülkelerle rekabet edebilme yeteneğini belirleyen bir dizi özellik olan rekabet edebilirliktir. Devletin küresel pazardaki yerini ve rolünü belirledikten sonra, bunu sağlamak için net bir strateji oluşturabiliriz. ekonomik güvenlik uluslararası olarak, çünkü Rusya ile dünya pazarındaki tüm oyuncular arasındaki olumlu ilişkilerin anahtarıdır: yatırımcılar, alacaklılar, devlet hükümetleri.

Ülkelerin rekabet edebilirlik seviyelerini karşılaştırmak için ülkeler, çeşitli ağırlıklı göstergeler içeren karmaşık endeksler kullanılarak sıralanır. Bu endekslerin temeli, ekonomik, politik vb. Durumu etkileyen anahtar faktörlerdir. Devletin rekabet edebilirliğini incelemek için bir dizi model çok değişkenli istatistiksel analiz yöntemlerinin (özellikle varyans analizi (istatistik), ekonometrik modelleme, karar verme) kullanılmasını sağlar ve aşağıdaki ana adımları içerir:

1. Gösterge-gösterge sisteminin oluşturulması.
2. Devlet rekabet gücü göstergelerinin değerlendirilmesi ve tahmini.
3. Devletlerin rekabet edebilirlik göstergelerinin ve göstergelerinin karşılaştırılması.

Şimdi bu kompleksin aşamalarının her birinin modelinin içeriğini düşünün.

İlk aşamada Uzman çalışma yöntemlerinin yardımıyla, uluslararası derecelendirme ve sistemin bir bütün olarak durumunu yansıtan istatistik bölümlerinden gelen verilere dayanan gelişiminin özelliklerini göz önünde bulundurarak devletin rekabetçiliğinin değerlendirilmesine ilişkin haklı bir ekonomik göstergeler seti oluşturulmuştur.Bu göstergelerin seçimi, uygulama açısından en eksiksiz şekilde devletin seviyesinin, yatırım çekiciliğinin ve mevcut potansiyel ve gerçek yaşam tehditlerinin göreceli lokalizasyonu olanaklarının belirlenmesini mümkün kılanların seçilmesi gerekçesiyle doğrulanmaktadır.

Uluslararası derecelendirme sistemlerinin ana göstergeleri-göstergeleri endekslerdir:

1. Küresel Rekabet Edebilirlik (IGC).
2. Ekonomik Özgürlük (IES).
3. İnsani Gelişme (İGE).
4. Yolsuzluk Algıları (TÜFE).
5. İç ve dış tehditler.
6. Uluslararası etkinin potansiyeli (IPMV).

İkinci aşama Dünyanın üzerinde çalışılan 139 ülke için uluslararası derecelendirmelere göre devlet rekabet gücü göstergelerinin değerlendirilmesini ve tahmin edilmesini sağlar.

Üçüncü aşama Devletlerin rekabet edebilirlik koşullarının yöntemlerle karşılaştırılmasını sağlar. korelasyon ve regresyon analizi.

Çalışmanın sonuçlarını kullanarak, süreçlerin niteliğini bir bütün olarak ve devletin rekabet edebilirliğinin bireysel bileşenleri ile belirlemek mümkündür; faktörlerin etkisinin hipotezini ve uygun olanlarla ilişkisini test eder. önem düzeyi.

Önerilen model kümesinin uygulanması yalnızca devletlerin rekabet gücü ve yatırım çekiciliği seviyesinin mevcut durumunu değerlendirmekle kalmayacak, aynı zamanda yönetimin zayıf yönlerini analiz etmeye, yanlış kararların hatalarını önlemeye ve devlette bir krizin gelişmesini önlemeye izin verecektir.