Análise de variância multivariada

Análise de variância é um conjunto de métodos estatísticos destinados a testar hipóteses sobre a relação entre certos sinais e os fatores em estudo, que não possuem descrição quantitativa, bem como o grau de influência dos fatores e sua interação. Na literatura especializada, é frequentemente chamada de ANOVA (do nome inglês Analysis of Variations). Este método foi desenvolvido pela primeira vez por R. Fisher em 1925.

Tipos e critérios de análise de variância

Esse método é usado para estudar a relação entre atributos qualitativos (nominais) e uma variável quantitativa (contínua). De fato, ele testa a hipótese de que a média aritmética de várias amostras é igual. Assim, pode ser considerado como um critério paramétrico para comparar os centros de várias amostras de uma só vez. Se você usar esse método para duas amostras, os resultados da análise de variância serão idênticos aos resultados do teste t-student. No entanto, ao contrário de outros critérios, este estudo nos permite estudar o problema com mais detalhes.

A análise de variância na estatística é baseada na lei: a soma dos quadrados dos desvios da amostra combinada é igual à soma dos quadrados dos desvios intragrupos e a soma dos quadrados dos desvios intergrupos. Para o estudo, o teste de Fisher é usado para estabelecer a significância da diferença entre as variâncias intergrupos das variâncias intragrupo. No entanto, para isso, os pré-requisitos necessários são a distribuição normal e homocedasticidade (igualdade de variâncias) das amostras. Distinguir entre análise de variância unidimensional (univariada) e multivariada (multivariada). O primeiro considera a dependência da quantidade estudada em um atributo, o segundo - imediatamente em muitos, e também permite identificar a relação entre eles.

Fatores

Fatores são chamados circunstâncias controladas que afetam o resultado final. Seu nível ou método de processamento é chamado de valor que caracteriza a manifestação específica dessa condição. Esses números são geralmente dados em uma escala nominal ou serial. Muitas vezes, os valores de saída são medidos em escalas quantitativas ou ordinais. Em seguida, surge o problema de agrupar os dados de saída em uma série de observações, que correspondem aproximadamente aos mesmos valores numéricos. Se o número de grupos for considerado excessivamente grande, então o número de observações neles pode ser insuficiente para obter resultados confiáveis. Se você considerar o número muito pequeno, isso pode levar à perda de recursos significativos do impacto no sistema. A forma específica de agrupar os dados depende do volume e da natureza da variação nos valores. O número e o tamanho dos intervalos na análise unidirecional é mais frequentemente determinado pelo princípio de intervalos iguais ou pelo princípio de frequências iguais.

Análise de problemas de variância

Portanto, há casos em que você precisa comparar duas ou mais amostras. É então que o uso de análise de variância é aconselhável. O nome do método indica que as conclusões são tiradas do estudo dos componentes da variância. A essência do estudo é que a mudança geral no indicador é dividida em partes componentes que correspondem à ação de cada fator individual. Considere uma série de problemas que uma análise típica de variância resolve.

Exemplo 1

A oficina possui várias máquinas operatrizes - máquinas automáticas que produzem uma peça específica. O tamanho de cada parte é um valor aleatório, que depende das configurações de cada máquina e dos desvios aleatórios que ocorrem durante a fabricação das peças.É necessário determinar se as máquinas são igualmente configuradas de acordo com as medidas das dimensões das peças.

Exemplo 2

Durante a fabricação do aparelho elétrico, vários tipos de papel isolante são usados: condensador, elétrico, etc. O aparelho pode ser impregnado com várias substâncias: resina epóxi, verniz, resina ML-2, etc. Vazamentos podem ser eliminados sob vácuo a alta pressão, por aquecimento. Pode ser impregnado por imersão em verniz, sob um fluxo contínuo de verniz, etc. O aparelho elétrico como um todo é vertido com um determinado composto, do qual existem várias opções. Indicadores de qualidade são a rigidez dielétrica do isolamento, a temperatura do superaquecimento do enrolamento no modo de operação e vários outros. Durante o teste do processo tecnológico de fabricação de aparelhos, é necessário determinar como cada um dos fatores listados afeta o desempenho do aparelho.

Exemplo 3

O depósito de trólebus serve várias rotas de trólebus. Vários tipos de trólebus funcionam para eles, e a coleta de tarifas é coletada por 125 controladores. A gerência de depósito está interessada na questão: como comparar o desempenho econômico de cada controlador (receita) levando em conta diferentes rotas, diferentes tipos de trólebus? Como determinar a viabilidade econômica de liberar um determinado tipo de trólebus em uma rota específica? Como estabelecer requisitos razoáveis ​​para a quantidade de receita que o condutor traz em cada rota em diferentes tipos de trólebus?

A tarefa de escolher um método é como obter o máximo de informações sobre o impacto no resultado final de cada fator, determinar as características numéricas de tal efeito, sua confiabilidade ao menor custo e no menor tempo possível. Resolver esses problemas permitem métodos de análise de variância.

Análise unidirecional

O estudo visa avaliar a magnitude do impacto de um caso particular na revisão analisada. Outra tarefa da análise unidirecional pode ser comparar duas ou mais circunstâncias entre si para determinar a diferença em seu efeito sobre o recall. Se a hipótese nula for rejeitada, a próxima etapa será a avaliação quantitativa e a construção de intervalos de confiança para as características obtidas. No caso quando hipótese nula não pode ser descartado, geralmente é aceito e uma conclusão é tirada da essência da influência.

A análise de variância univariada pode se tornar um análogo não paramétrico do método de classificação de Kraskel-Wallis. Foi desenvolvido pelo matemático americano William Kraskel e pelo economista Wilson Wallis em 1952. Este critério foi atribuído para testar a hipótese nula de que os efeitos nas amostras estudadas são iguais aos valores médios desconhecidos, mas iguais. O número de amostras deve ser maior que dois.

O critério Jonkhier (Jonkhier-Terpstra) foi proposto independentemente pelo matemático holandês T.J. Terpstrom em 1952 e pelo psicólogo britânico E. R. Jonkhier em 1954. Ele é usado quando se sabe de antemão que os grupos de resultados disponíveis são ordenados por o crescimento da influência do fator estudado, que é medido em uma escala ordinal.

M - o teste de Bartlett, proposto pelo estatístico britânico Maurice Stevenson Bartlett em 1937, é usado para testar a hipótese nula sobre a igualdade de variâncias de várias populações normais das quais as amostras estudadas foram tomadas, geralmente com volumes diferentes (o número de cada amostra deve ser de pelo menos quatro). )

G é o teste de Cochren, descoberto pelo americano William Gemmel Cochren em 1941. Ele é usado para testar a hipótese nula de que as variâncias das populações gerais normais são iguais para amostras independentes de igual volume.

O critério não paramétrico de Levene, proposto pelo matemático americano Howard Levene em 1960, é uma alternativa ao critério de Bartlett em condições em que não há certeza de que as amostras estudadas obedeçam à distribuição normal.

Em 1974, os estatísticos americanos Morton B. Brown e Alan B. Forsyth propuseram um teste (critério de Brown-Forsythe), que é um pouco diferente do critério de Leuven.

Análise de dois fatores

A análise de variação bidirecional é usada para amostras acopladas normalmente distribuídas. Na prática, tabelas complexas deste método são frequentemente usadas, em particular aquelas em que cada célula contém um conjunto de dados (medições repetidas) correspondendo a valores de nível fixo. Se as premissas necessárias para a aplicação da análise de variância bidirecional não forem cumpridas, então é usado o critério não-paramétrico de Friedman (Friedman, Kendall e Smith) desenvolvido pelo economista americano Milton Friedman no final de 1930. Esse critério é independente do tipo de distribuição.

Supõe-se apenas que a distribuição de quantidades é a mesma e contínua, e elas são independentes uma da outra. Ao testar a hipótese nula, a saída é apresentada na forma de uma matriz retangular na qual as linhas correspondem aos níveis do fator B e as colunas correspondem aos níveis de A. Cada célula da tabela (bloco) pode ser o resultado de medidas de parâmetros em um objeto ou em um grupo de objetos em valores constantes dos níveis de ambos os fatores . Neste caso, os dados correspondentes são fornecidos como os valores médios de um determinado parâmetro para todas as medições ou objetos da amostra estudada. Para aplicar o critério dos dados de saída, é necessário mudar dos resultados de medição direta para sua classificação. A classificação é executada para cada linha separadamente, ou seja, os valores são ordenados para cada valor fixo.

O critério de página (critério L), proposto pelo estatístico americano E. B. Page em 1963, pretende testar a hipótese nula. Para amostras grandes, a aproximação da página é usada. Eles, sujeitos à realidade das hipóteses nulas correspondentes, obedecem à distribuição normal padrão. No caso de as linhas da tabela de origem terem os mesmos valores, é necessário usar as classificações médias. Além disso, a precisão das conclusões será o pior, mais haverá números de tais coincidências.

Q é o critério de Cochren proposto por V. Cohren em 1937. É usado em casos em que grupos de sujeitos homogêneos são expostos a mais de dois e para os quais duas respostas são possíveis - condicionalmente negativo (0) e condicionalmente positivo (1) . A hipótese nula consiste em efeitos iguais de influência. A análise bidirecional da variância torna possível determinar a existência de efeitos de processamento, mas não permite estabelecer para quais colunas esse efeito existe. Para resolver este problema, o método de múltiplas equações de Sheffe para amostras acopladas é usado.

Análise multivariada

A tarefa de análise multivariada de variância surge quando é necessário determinar a influência de duas ou mais condições em uma determinada variável aleatória. O estudo prevê a presença de uma variável aleatória dependente, medida na escala de diferença ou relações, e várias variáveis ​​independentes, cada uma das quais é expressa na escala de nomes ou na classificação. Análise de dados de variância é uma seção bastante desenvolvida de estatísticas matemáticas, que tem muitas opções. O conceito de pesquisa é comum para fator único e multifator. Sua essência é que a variância total é dividida em componentes, o que corresponde a um certo agrupamento de dados. Cada agrupamento de dados possui seu próprio modelo.Aqui vamos considerar apenas as disposições básicas necessárias para o entendimento e uso prático de suas opções mais utilizadas.

A análise da variância dos fatores requer uma atitude bastante cuidadosa em relação à coleta e apresentação dos dados de entrada e, especialmente, à interpretação dos resultados. Ao contrário de um fator, cujos resultados podem ser arbitrariamente colocados em uma determinada seqüência, os resultados de dois fatores exigem uma representação mais complexa. Uma situação ainda mais difícil surge quando há três, quatro ou mais circunstâncias. Por causa disso, mais de três (quatro) condições raramente são incluídas em um modelo. Um exemplo é a ocorrência de ressonância em um determinado valor da capacitância e indutância do círculo elétrico; a manifestação de uma reação química com um certo conjunto de elementos a partir dos quais o sistema é construído; a ocorrência de efeitos anômalos em sistemas complexos com uma certa coincidência de circunstâncias. A presença da interação pode mudar fundamentalmente o modelo do sistema e, às vezes, levar a um repensar da natureza dos fenômenos com os quais o experimentador lida.

Análise multivariada de variância com experimentos repetidos

Os dados de medição geralmente podem ser agrupados não por dois, mas por um número maior de fatores. Então, se considerarmos a análise de variância da vida útil dos pneus das rodas do troleico levando em conta as circunstâncias (o fabricante e a rota em que os pneus são operados), podemos distinguir a estação em que os pneus são operados (inverno e verão) como condição separada. Como resultado, teremos a tarefa de um método de três fatores.

Se houver mais condições, a abordagem é a mesma que na análise de dois fatores. Em todos os casos, eles tentam simplificar o modelo. O fenômeno da interação de dois fatores não é tão freqüentemente manifestado, e a interação tripla ocorre apenas em casos excepcionais. Eles incluem a interação para a qual existem informações anteriores e boas razões para levar isso em conta no modelo. O processo de isolar fatores individuais e considerá-los é relativamente simples. Portanto, muitas vezes há um desejo de destacar mais circunstâncias. Isso não deve ser levado embora. Quanto mais condições, menos confiável se torna o modelo e maior a probabilidade de erro. O próprio modelo, que inclui um grande número de variáveis ​​independentes, torna-se difícil o suficiente para interpretar e inconveniente para uso prático.

A ideia geral de análise de variância

A análise de variância nas estatísticas é um método para obter os resultados das observações que dependem de várias circunstâncias simultaneamente existentes e avaliar seu impacto. Uma variável controlada que corresponde ao método de influenciar o objeto de estudo e em certo período de tempo adquire um certo valor é chamado de fator. Eles podem ser qualitativos e quantitativos. Níveis de condições quantitativas adquirem um certo valor em uma escala numérica. Exemplos são temperatura, pressão, quantidade de substância. Fatores qualitativos são diferentes substâncias, diferentes métodos tecnológicos, dispositivos, enchimentos. Seus níveis correspondem à escala de nomes.

A qualidade também pode incluir o tipo de material de embalagem, condições de armazenamento da forma de dosagem. Também é racional atribuir o grau de moagem de matérias-primas, a composição fracionada de grânulos que são de importância quantitativa, mas são difíceis de controlar se uma escala quantitativa for usada. O número de fatores de qualidade depende do tipo de forma de dosagem, bem como das propriedades físicas e tecnológicas das substâncias medicinais. Por exemplo, os comprimidos podem ser obtidos a partir de substâncias cristalinas por compressão direta. Neste caso, basta fazer uma escolha de substâncias deslizantes e lubrificantes.

Exemplos de fatores qualitativos para vários tipos de formas de dosagem

• Tinturas A composição do extratante, o tipo de extrator, o método de preparação de matérias-primas, o método de produção, o método de filtragem.
• Extratos (líquido, espesso e seco). A composição do extrator, o método de extração, o tipo de instalação, o método de remoção do extratante e das substâncias de lastro.
• Comprimidos A composição de excipientes, cargas, desintegrantes, aglutinantes, lubrificantes e deslizantes. Um método de produção de comprimidos, tipo de equipamento de processamento. Tipo de casca e seus componentes, formadores de filme, pigmentos, corantes, plastificantes, solventes.
• Soluções de injeção. Tipo de solvente, método de filtração, natureza dos estabilizantes e conservantes, condições de esterilização, método de enchimento das ampolas.
• Supositórios. A composição da base do supositório, um método de produção de supositórios, enchimentos, embalagens.
• Pomadas. A composição da base, componentes estruturais, o método de preparação da pomada, o tipo de equipamento, embalagem.
• Cápsulas Tipo de material de revestimento, método de produção de cápsulas, tipo de plastificante, conservante, corante.
• Linimento O método de preparação, composição, tipo de equipamento, tipo de emulsificante.
• Suspensões Tipo de solvente, tipo de estabilizador, método de dispersão.

Exemplos de fatores qualitativos e seus níveis estudados no processo de fabricação de comprimidos

• Fermento em pó. Amido de batata, argila branca, uma mistura de bicarbonato de sódio com ácido cítrico, carbonato de magnésio básico.
• Solução de ligação. Água, pasta de amido, xarope de açúcar, solução de metilcelulose, solução de hidroxipropilmetilcelulose, solução de polivinilpirrolidona, solução de álcool polivinílico.
• Substância de deslizamento. Aerosil, amido, talco.
• Enchimento. Açúcar, glicose, lactose, cloreto de sódio, fosfato de cálcio.
• Lubrificante Ácido esteárico, polietilenoglicol, parafina.

Análise de modelos de variância no estudo da competitividade estatal

Um dos critérios mais importantes para avaliar o estado do estado, que avalia o nível de bem-estar e desenvolvimento socioeconômico, é a competitividade, ou seja, um conjunto de propriedades inerentes à economia nacional, que determinam a capacidade do Estado de competir com outros países. Tendo determinado o lugar e o papel do estado no mercado global, podemos estabelecer uma estratégia clara para garantir segurança econômica internacionalmente, porque é a chave para as relações positivas entre a Rússia e todos os atores do mercado mundial: investidores, credores, governos estaduais.

Para comparar o nível de competitividade dos países, os países são classificados usando índices complexos, que incluem vários indicadores ponderados. A base desses índices são os principais fatores que afetam a situação econômica, política etc. Um conjunto de modelos para estudar a competitividade do estado prevê o uso de métodos de análise estatística multivariada (em particular, análise de variância (estatística), modelagem econométrica, tomada de decisão) e inclui as seguintes etapas principais:

1. Formação de um sistema de indicadores-indicadores.
2. Avaliação e previsão de indicadores de competitividade do estado.
3. Comparação de indicadores-indicadores da competitividade dos estados.

Agora, considere o conteúdo dos modelos de cada uma das etapas desse complexo.

Na primeira etapa Com a ajuda de métodos de estudo especializados, um conjunto justificado de indicadores econômicos-indicadores de avaliação da competitividade do estado é formado levando em conta as especificidades de seu desenvolvimento com base em classificações internacionais e dados de departamentos estatísticos que refletem o estado do sistema como um todo e seus processos.A escolha destes indicadores justifica-se pela necessidade de selecionar aqueles que mais plenamente do ponto de vista da prática possibilitam determinar o nível do estado, sua atratividade de investimento e as possibilidades de localização relativa do potencial existente e ameaças da vida real.

Os principais indicadores-indicadores dos sistemas internacionais de classificação são os índices:

1. Competitividade Global (IGC).
2. Liberdade Econômica (IES).
3. Desenvolvimento Humano (IDH).
4. Percepções de Corrupção (CPI).
5. Ameaças internas e externas.
6. O potencial de influência internacional (IPMV).

Segunda etapa Ele prevê a avaliação e previsão de indicadores de competitividade do estado de acordo com as classificações internacionais para os 139 países do mundo estudados.

Terceiro estágio fornece uma comparação das condições de competitividade dos estados usando métodos análise de correlação e regressão.

Usando os resultados do estudo, é possível determinar a natureza dos processos como um todo e por componentes individuais da competitividade do estado; testar a hipótese da influência dos fatores e sua relação com os fatores nível de significância.

A implementação do conjunto de modelos proposto permitirá avaliar não só a situação atual do nível de competitividade e atratividade de investimentos dos Estados, mas também analisar as fragilidades da gestão, evitar erros de decisões incorretas e impedir o desenvolvimento de uma crise no Estado.